Как отличаются параллели и меридианы по длине, Словарь терминов
Геоинформационные технологии в значительной мере опираются на К. Обитаемая земля сев. Какое значение имеют план и карта в практической деятельности человека?
К ним — планы планшеты в масштабе Франции, в масшт. Италии в масшт. Дании; Ютландии в масшт. Карта всей Дании, в масшт. Норвегии, Из 57 больших листов готовы только 28, притом северная часть страны еще не снята. Англии и Валлиса, масшт. Шотландии, масшт. Испании, масшт. Индии Индостан и англ. Штатов; изданные листы обнимают менее четверти всей территории. России: военно-топографическая карта, в масшт.
Царства Польского. Планшеты к ней, в масшт. Для некоторых губерний Тверская, Московская изданы карты в 2 в. В х годах было предпринято издание верстной карты России под ред. Стрельбицкого, хромолитографированной, с прилегающими частями иностр. Кроме топографических карт для различных государств Европы и внеевропейских стран, имеются еще многие карты меньших масштабов, так назыв.
Большее или меньшее достоинство их обусловливается степенью точности и подробности при достаточной ясности и наглядности. Чем меньше масштаб, тем менее подробностей может передать карта, и искусство картографа заключается в умелом их выборе и в возможно ясной их передаче, сохраняя при этом наглядность общего представления, изящество исполнения и четкость шрифта различных размеров для обозначения отдельных категорий названий.
На генеральных К. Для удовлетворения же специальных запросов должны служить и специальные К. Морские карты составляются на основании береговых съемок и промеров глубин, издаются гидрографическими ведомствами, служат для целей мореплавания. Генеральные К. Число их теперь велико, и они имеются всевозможных цен и размеров. Hachette, менее подробный, но с прибавлением краткого текста и многих маленьких в нем специальных пояснительных карточек.
По размерам К. Особый отдел составляют учебные К. Добавим в заключение несколько слов о развитии картографии в России. Уже в допетровскую эпоху у нас было известно искусство составления географических чертежей, что доказывает "Большой Чертеж", начавший составляться еще в XVI в. О старинных русских чертежах мы можем получить понятие из карты Сибири, составленной в г.
Годунова и копии с которой сохранилась в Стокгольмском госуд. Что касается "Большого Чертежа", то он послужил для составления К. Годунов и на основании которой были изданы в гг. Массы и Герарда в Голландии. Эти К. России, хотя попытки к составлению таковых делались на Западе и ранее: известна, напр.
Бернардо Агнезе г. Вида и особенно К. Герберштейна, который мог пользоваться отчасти и русским чертежом или по крайней мере русскими дорожниками.
Петр I, интересуясь географией, посылал для съемок геодезистов и морских офицеров и выписал из-за границы для издания К. Картографические материалы в его время собирались в Сенат, секретарь которого И. Кирилов был большой любитель географии; благодаря ему был издан первый русский географический атлас из 19 К.
Позже составление и издание К. Множество картографических данных было собрано в эпоху Екатерины II путешественниками-академиками, а также благодаря начатому в это же время генеральному межеванию. При Павле составление К.
К эпохе Александра I относятся первые триангуляции в России, исполнявшиеся сперва под руководством ген. Теннера, затем ген. После основания Пулковской обсерватории, при Николае I, геодезия и картография сделали у нас значительные успехи и заявили себя такими крупными работами, как измерение под руководством Струве дуги меридиана от Лапландии до устьев Дуная и составление с г. При Александре II листы этой К. За последние 15 лет дело картографии подвинулось у нас еще более; тем не менее, во многих отношениях оно еще уступает в развитии иностранному во Франции, Австрии, Германии, Швейцарии и т.
Еще обширные части территории империи остаются не снятыми инструментально, да и прежние съемки многих частей оказываются не вполне удовлетворительными что отчасти зависит от недостаточности масштаба , притом часто и устаревшими. Кавказа или Крыма почти не уступают лучшим заграничным изданиям этого рода.
Что касается 3-верстной К. России, исполнена притом в недостаточно крупном масштабе 1: , не везде одинаково явственна и имеет недостаточно выраженный рельеф.
Для Кавказа имеется еще 5-верстная К. Кроме военного ведомства, картография в России разрабатывается еще морским — именно Главным гидрографическим управлением, издавшим уже несколько сот листов морских К.
Далее, производством съемок и изданием К. Тилло; министерство госуд. Тверской губ. Наконец, К. Для пользы дела было бы желательно объединить все эти разрозненные усилия, чем могло бы быть достигнуто единство плана и выполнения, а также и сокращение в расходах; однако покуда мысль о центральном геодезическом институте или совете, бывшая уже предметом многих обсуждений, не получила шансов на осуществление, по крайней мере в ближайшем будущем.
Частная картографическая деятельность развивается у нас очень туго, вероятно, вследствие недостаточности спроса, хотя в последнее время и появилось, кроме г. Ильина, несколько новых предпринимателей. Тем не менее, многие русские К. Facsimiles", изд. Ruge, "Geschichte der Erdkunde" 2 изд. Lorenz-Liburnau, "Anleitung zum Kartenlesen" B.
Данные о новейших успехах картографии и о топографич. О ходе русской картографии за последние годы см. Карты географические матем. Точное изображение земной поверхности может быть сделано только на глобусе см. Глобус годится лишь для общего представления о расположении материков и океанов.
Для подробного же изображения всей Земли и особенно отдельных ее частей прибегают к изображениям на плоскости. Если развернуть конус АСВ на плоскость, то получится географическая К. Эти элементы могут изменяться по произволу, и, смотря по их выбору, являются различные виды изображений, называемые картографическими проекциями.
Сообразно этому проекции бывают цилиндрические, горизонтальные и конические. Точка D может совпадать с полюсом земли, лежать на экваторе или где-нибудь между полюсом и экватором; сообразно этому проекции бывают полярные, экваториальные и зенитальные. Далее, существует целая система так называемых перспективных проекций, на которых земная поверхность представляется так, как она проектируется на плоскость, когда глаз наблюдателя точка зрения находится где-нибудь вне, внутри или на самой поверхности.
Таким образом, различают перспективные проекции ортографическую, стереографическую и центральную. Наконец, существует еще много совершенно произвольных проекций, не основанных на каких-нибудь геометрических свойствах проектирования, а употребляемых единственно вследствие удобства черчения или по своим специальным качествам, важным только в известном отношении. Например, на одних сохраняется квадратное содержание земель эквивалентные проекции , на других сохраняется подобие в бесконечно малых частях и т.
Рассмотрим наиболее употребительные картографические проекции. Простая коническая npoeкция фиг. На этой проекции меридианы изображаются лучеобразно расходящимися прямыми, а параллели — концентрическими и равноотстоящими дугами кругов; здесь сохраняются перпендикулярность меридианов к параллелям и линейные расстояния по меридианам, зато линейные расстояния по параллелям по мере удаления на север и юг от параллели касания быстро увеличиваются и контуры вытягиваются по долготе.
Проекция секущего конуса фиг. Эта проекция в начале прошлого столетия применена астрономом Делилем к изображению России и известна у нас под именем проекции Делиля.
Плоская квадратная проекция фиг. На ней меридианы и параллели представляются взаимно перпендикулярными и равноотстоящими прямыми. Линейные расстояния сохраняются по экватору и по меридианам; по всем же параллелям они весьма растянуты по долготе.
Плоская прямоугольная проекция фиг. Меридианы и параллели — взаимно перпендикулярные прямые, но расстояния между параллелями больше, чем между меридианами. Линейные расстояния сохраняются по меридианам и по двум симметрично расположенным параллелям; на промежуточных параллелях они уменьшены, а на внешних — увеличены. Проекция Меркатора фиг. В ней, сообразно свойственному плоской проекции увеличению линейных расстояний по параллелям, увеличены расстояния по меридианам и именно с таким расчетом, чтобы отношение весьма малых расстояний по меридианам и параллелям на карте было бы равно соответствующему отношению на поверхности Земли; другими словами, эта проекция сохраняет подобие в бесконечно малых частях.
Хотя по мере удаления от экватора контуры очень растягиваются и изображение полярных стран невозможно полюс должен находиться на бесконечном расстоянии , но зато эта проекция обладает драгоценным для моряков свойством.
Если соединить на карте две произвольные точки прямою, то угол, составляемый этою прямою со всеми меридианами, будет один и тот же и равен постоянному румбу, под которым суда плывут в открытом океане, следуя по направлению так называемой локсодромии см. Поэтому проекция Меркатора до сих пор в большом употреблении у моряков. Ортографическая проекция табл. Глаз наблюдателя предполагается в бесконечном удалении, так что контуры земной поверхности проектируются на плоскость при помощи перпендикуляров, опущенных на плоскость из всех точек сферической поверхности.
Вследствие этого в середине К. Смотря по месту расположения глаза, ортографическая проекция бывает полярная фиг.
На полярной проекции меридианы представляются лучеобразно расходящимися прямыми, а параллели — концентрическими кругами, на экваториальной — меридианы представляются вообще эллипсами, а параллели — параллельными прямыми, а на зенитальной как меридианы, так и параллели — представляются эллипсами.
Ортографическая проекция не употребляется для изображения больших пространств полушарий или целых материков , но она весьма удобна для изображения малых участков, потому что у середины К. Все так называемые планы представляют в сущности зенитальные ортографические проекции местности.
Она же употребляется для К. Луны, для которой обращенное к нам полушарие самою природою представляется нам именно в ортографической проекции. Стереографическая проекция табл. Глаз наблюдателя предполагается на самой поверхности Земли, а картинная плоскость — проходящею через центр и перпендикулярно радиусу, проведенному к глазу. Подобно предыдущей, стереографическая проекция бывает полярная фиг. Хотя на стереографической проекции контуры сокращаются и степень сокращения у середины К.
Следует отметить, что на произвольных поверхностях, вообще го- воря, не существует подобных формул в замкнутом виде в элементарных функци- ях, здесь используют дифференциальные формулы геодезических линий, интегри- рование которых позволяет решать различные задачи. В этих случаях используют методы дифференциальной геометрии поверхностей. При решении геодезических задач на поверхности земного эллипсоида мы будем использовать методы дифференциальной геометрии. Для того, чтобы лучше понять данные методы, применяемые в сфероидиче- ской геодезии, вспомним основные элементы кривых на поверхностях.
Прежде всего вспомним, что в дифференциальной геометрии выделяют регулярные или гладкие кривые и поверхности, не имеющие особых разрывных точек и ли- ний.
На таких линиях и поверхностях для текущей точки производная непрерывна и плавно меняет свое значение с изменением координат. Такие кривые и поверхно- сти называют также дифференцируемыми. Поверхность эллипсоида регулярная и мы будем рассматривать геометрию регулярных кривых на этой поверхности. Вспомним основные определения, относящиеся к кривым на поверхностях.
В каждой точке кривой можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости и прямые рис. Для произвольных кривых на поверх- ностях точки, в которых эти два вектора совпадают, называются геодезическими точками. Если на поверхности эллипсоида вращения проведено нормальное в дан- ной точке сечение, то она также геодезическая, как геодезической будет точка, находящаяся на продолжении нормального сечения до точки, лежащей на одной параллели с данной.
У центральных сечений эллипсоида экваториальные точки — геодезические. Таким образом можно отметить, что любое нормальное сечение земного эллипсоида имеет, по крайней мере, две геодезические точки, удаление ко- торых будет тем больше, чем ближе плоскость сечения проходит от его центра. Если на поверхности эллипсоида рис. Эти сече- ния не совпадут друг с другом потому, что нормали к поверхности эллипсоида Аn A и Bn B в данных точках не лежат в одной плоскости, а образуют скрещивающиеся прямые.
Это хорошо видно из рисунка 4. Геомет- рический смысл этих коэффициентов поясним несколько дальше. Координатные линии на поверхности эллипсоида Как уже отмечалось ранее, координатными линиями на поверхности земно- го эллипсоида являются меридианы и параллели, уравнения которых могут быть получены из уравнения 4.
Эта величина носит название второй основной функции ши- роты и имеет следующие выражения. Учитывая изложенное, заметим, что меридианы и параллели земного эл- липсоида представляют собой плоские сечения.
При этом меридианы — нормаль- ные сечения, состоящие сплошь из геодезических точек, следовательно, они явля- ются также геодезическими линиями. Мериди- ан является исключением. Параллели земного эллипсоида являются наклонными по отношению к нормали плоскими сечениями. Более того, выражая радиус парал- лели r через радиус первого вертикала N 3. Можно отметить, что параллель наибольшего радиуса экватор является нормальным сечением и геодезической линией. В теории поверхностей координатные сетки в виде меридианов и паралле- лей, когда одна координатная линия является геодезической, а другая негеодезиче- ская, называют полугеодезическими.
Из теории поверхностей известно, что в каждой точке поверхность имеет различную кривизну, зависящую как от координат данной точки, так и направле- ния. Другими словами, если в данной точке поверхности провести нормальные се- чения, то радиус их кривизны будет зависеть от направления азимута. При этом на любой поверхности всегда можно выбрать такие два направления, вдоль кото- рых будет иметь место наибольший и наименьший радиусы ее кривизны.
Такие направления на поверхности называют главными, а радиусы кривизны нормальных сечений, проходящих вдоль этих направлений называют главными радиусами кривизны поверхности. Если взять меридиан PQ рис. Заметим величину глав- Рис. На рисунке 4. Вообще говоря, ось вращения эллипсоида является геометрическим местом центров кривизны первых вертикалов, а астроида — геометрическим местом цен- тров кривизны меридианов. Сравнивая численные значения главных радиусов кри- визны, замечаем, что радиус меридиана меньше радиуса первого вертикала, следо- вательно, всегда кривизна поверхности эллипсоида минимальна вдоль первого вертикала, а максимальна — вдоль меридиана.
На полюсе меридиан и первый вер- тикал совпадают. Радиус произвольного нормального сечения. Это обозначение принято в геодезии и будет использовано нами дальше. Для решения целого ряда практических задач геодезии на территориях ма- лых размеров с целью упрощения рабочих формул для вычислений поверхность эллипсоида заменяют поверхностью шара, радиус которого принимается равным среднему интегральному значению радиусов кривизны эллипсоида в данной точке.
Некоторые из этих задач мы будем рассматривать дальше. Естественно, при этом важным является вопрос расчета точности вычислений. Среднее интегральное значение для выражения 4. При этом видно из выражения 4. Длина дуги меридиана Меридиан земного эллипсоида представляет собой эллипс, радиус кривиз- ны которого определяется величиной М , зависящей от широты.
Интеграл не берется в замкнутом виде в элементарных функциях. Для его вычисления возмож- ны лишь приближенные методы интегрирования. Число членов разло- жения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиа- на, а также от разности широт ее конечных точек. В геодезической практике могут возникать различные случаи, чаще прихо- дится производить вычисления для малых длин до 60 км , но для специальных целей может возникнуть потребность вычислений дуг меридианов большой длины: от экватора до текущей точки до 10 км , между полюсами до 20 км.
Необходимая точность вычислений может достигать величины в 0. Поэтому мы рассмотрим вначале общий случай, когда разность широт может достигать , а длина дуги 20 км.
Значение cos B в любом случае не превзойдет единицы. Почленное интегрирование 4. В геодезической практике очень часто возникает необходимость вычисле- ния дуги меридиана малой длины порядка длины стороны треугольника триангу- ляции , в условиях Беларуси это значение не превзойдет величины в 30 км.
В этом случае нет необходимости применять громоздкую формулу 4. Пусть широты конечных точек на меридиане будут B 1 и B 2 соответствен- но. Для расстояний до 30 км это будет соответствовать разности широт в радиан- ной мере, не более 0. Длина дуги параллели Радиус параллели, как видно из формулы 4. В отличие от меридиана, длина дуги параллели, соответствующая одинако- вой разности долгот, различается.
Площадь сфероидической трапеции. Размеры рамок трапеций топографических карт Трапеция топографической карты любого масштаба является отображением на плоскости в соответствующей проекции цилиндрической Гаусса — Крюгера, конической Ламберта и др сфероидической трапеции, ограниченной меридианами и параллелями с соответствующей разграфке масштабных рядов разностью долгот и широт. Например, для масштаба 1 : 1 у нас в стране эти разности приня- ты соответственно в 60 и В других странах принята иная разграфка, например, для близ экваториальных стран приняты обе разности в В любом случае стре- мятся к тому, чтобы линейные размеры трапеций карт любого масштаба были бы примерно одинаковыми.
Пусть мы имеем такую сфероидическую трапецию. При этом точность вычислений зависит только от их разрядности, так как формула 4. В учебниках старых изданий приведена другая формула для вычислений площади трапеции, получен- ная путем разложения биномиального выражения под знаком интеграла 4. Прежде чем приступить к формулам для вычислений размеров рамок топо- графических карт, полезно заметить следующее.
Во — первых, эти размеры нужны для вычерчивания рамок соответствующего масштаба карт, когда предельная гра- фическая точность равна 0. Например, для масштаба кар- ты 1 : 1 это будет соответствовать на местности величине в м, а для самого крупного масштаба карты 1 : 10 , соответственно 1 м. Во — вторых, не- сложно убедиться, что линейные размеры трапеций карты любого масштаба при- мерно одинаковы и не превосходят величины 50 х 50 см. В — третьих, численные значения размеров рамок нужны для их нанесения на планшет и вычерчивания с графической точностью до 0.
Таким образом мы видим, что в любом слу- чае при вычислениях необходимо учитывать не более четырех значащих цифр. Для вычисления их длин вос- пользуемся ранее полученными форму- лами для малой дуги меридиана и па- раллели 4. Система дифференциальных уравнений геодезической линии На рисунке 4.
Через точку К ши- рота которой равна В проведем параллель, ко- торая пересечет меридиан точки Т в некоторой C точке С. A K Рассмотрим элементарный прямоуголь- ный треугольник ТСК у которого все стороны dS будут бесконечно малы потому, что гипотенуза dS по условию бесконечно мала.
Этот тре- T угольник решаем как плоский прямоугольный, Рис. В результате можем записать.
Не смотря на то, что одна из его сторон TК бесконечно мала, стороны РT и РК могут достигать значительных ве- личин, зависящих от значения широты точки Т.
В этом случае мы можем рассмат- ривать его как сферический и решать по формулам сферической тригонометрии. Рассмотрим элементы этого треугольника.
Уравнение Клеро для геодезической линии Система дифференциальных уравнений 4. Оно лежит в основе решения задач сфероидической геодезии при определе- нии связи между полярными координатами A и S и параметрическими координата- ми B и L на поверхности земного эллипсоида. Решение этих задач производится по формулам, следующим из интегрирования системы 4.
Французский математик и геодезист Клеро в году взял первый инте- грал системы вида 4. Полученное уравнение в математике носит название уравнение Клеро для геодезических линий на поверхностях вращения. Для вывода этого уравнения на поверхности земного эллипсоида перейдем в системе 4. Заметим геометрический смысл постоянной с в уравнении 4.
При использовании уравнения 4. Общие сведения о решении треугольников Основным видом построений в государственных геодезических сетях яв- ляются треугольники триангуляции и трилатерации. Для того, чтобы использовать эти треугольники для передачи координат от исходных к определяемым пунктам необходимо знать как длины их сторон, так и внутренние углы.
В процессе предва- рительных вычислений вводят поправки в измеренные углы в триангуляции и длины сторон в трилатерации за редуцирование с физической поверхности Зем- ли на поверхность эллипсоида. В результате получают сфероидические треуголь- ники, сторонами которых служат геодезические линии эллипсоида. Возникает необходимость решения этих треугольников. При этом в триан- гуляции по измеренным углам и длине одной из сторон треугольника вычисляют стороны всех треугольников сети.
В трилатерации — по измеренным длинам сторон вычисляют углы треугольников. Проблема решения этой задачи заключается в том, что не существует формул сфероидической тригонометрии, подобных формулам плоской и сферической тригонометрии. Вместе с тем замечаем: во — первых, по- лярное сжатие земного эллипсоида величина малая, во — вторых, длины сторон сфероидических треугольников — малые величины по сравнению с радиусом кри- визны эллипсоида.
В связи с этим возникает вопрос, при каких условиях для решения тре- угольников можно заменить область на поверхности эллипсоида соответствующей областью на поверхности шара, если его радиус принять равным R 0 , вычисленным по средней широте В 0 данной области эллипсоида. Другими словами, когда эле- менты сфероидического треугольника будут с необходимой точностью соответ- ствовать элементам сферического треугольника. В этом случае треугольники мож- но решать как сферические.
Исследования показывают, что такое возможно, если сеть треугольников располагается в сфероидическом поясе шириной до км или на удалении от параллели с широтой В 0 до км. В этом случае длины сторон треугольников первого и последующих классов будут отличаться на величину, не более 0. При пониженных требованиях к необходимой точ- ности решения треугольников ширина пояса увеличивается, например, при точно- сти, на порядок ниже, ширина пояса может достигать км.
Углы этих треугольников, расположенные против соответственно равных сторон, не будут равны соответствующим углам сферического треугольника.
Преобразуем R05 выражение 5. Отсюда следует вывод, что сферический избыток треугольника как и любого многоугольника на сфере прямо пропорционален площади и обратно про- порционален квадрату радиуса сферы, что и выражает теорему Лежандра. Порядок решения треугольников по теореме Лежандра В условиях Республики Беларусь длины сторон триангуляции 1 класса не превышают величины 30 км.
Порядок решения сети треугольников триангуляции по теореме Лежандра будет следующим: - определяют порядок решения треугольников сети так, чтобы последова- тельно производилась передача длин сторон из треугольника в тре- угольник, в конечном итоге замыкалась на исходную сторону; - по длине стороны и измеренным углам вычисляют сферический избыток по формулам 5.
В том случае, когда решаются треугольники, объединенные в сеть, необхо- димо последний из решаемых треугольников выбрать так, чтобы он примыкал к первому. И в этом случае контролем правильного решения будет условие, что рас- хождение в длине стороны, полученной дважды, не превышает величины 0.
Способ аддитаментов для решения треугольников Для треугольника АВС рис. С учетом этого можем записать вместо 5. На практике способ аддитаментов для решения треугольников используют, как правило, для контроля решения способом Лежандра. Таким образом замечаем порядок решения сферических треугольников по способу аддитаментов. В этом случае для любого класса триангуляции будет обеспечена необходимая точность вычислений сторон как и в способе Лежандра.
Действуя последовательно, решают любое число треугольников. Общие сведения о решении главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида Основной задачей геодезии является определение координат точек земной поверхности и околоземного пространства. Координатной поверхностью в геоде- зии, как известно, является поверхность земного эллипсоида. Таким образом, зада- ча сводится к вычислению сфероидических координат по результатам спутнико- вых, астрономических, гравиметрических и геодезических измерений с использо- ванием геометрии земного эллипсоида.
Как отмечалось ранее, на поверхности земного эллипсоида приняты две си- стемы геодезических координат — параметрическая широты и долготы, простран- ственные прямоугольные и полярная азимуты и расстояния. В результате спут- никовых и астрономических измерений и их редуцирования на поверхность эллип- соида получают пространственные прямоугольные координаты, геодезические ши- роты, долготы точек и азимуты направлений.
Геодезические измерения, выполнен- ные в триангуляции, трилатерации, полигонометрии и их сочетаниях, после реду- цирования на поверхность эллипсоида дают длины геодезических линий между точками эллипсоида и углы между ними. Точность редукционных вычислений все- гда на порядок выше точности измерений соответствующих величин, поэтому при их математической обработке считают величины на эллипсоиде измеренными.
Сущность главной геодезической задачи сводится к установлению связи между системой параметрических и полярных координат на поверхности эллипсо- ида. Формулы связи пространственных прямоугольных координат и геодезических широт, долгот и высот нами рассмотрены ранее. Поэтому при рассмотрении мето- дов решения главной геодезической задачи на поверхности земного эллипсоида Р под параметрическими координатами мы будем понимать геодезические широты и долготы.
В основе решения главной геодезической задачи лежит полярный сферо- идический треугольник PAB рис. Различают прямую и обратную геодези- ческие задачи. Прямая геодезическая задача: по известным геодезическим широте B 1 и долготе L 1 одной точки, длине S 12 и азимуту А12 геодезической линии до другой точки вычислить геодезические широту B 2 и долготу L2 другой точ- ки, а также обратный азимут А Здесь требуется вычислить параметрические координаты определяемой точки, обратный азимут по ее полярным координатам, отсчитанным от исходной точки.
Обратная геодезическая задача: по известным геодезическим широтам В 1 , B 2 и долготам L1 , L2 двух точек вычислить прямой и обратный азимуты А 12 , А21 и длину геодезической линии между ними S Здесь по известным параметрическим координатам двух точек вычисляют- ся связывающие их полярные координаты.
Если бы шла речь о решении главной геодезической задачи на сфере еди- ничного радиуса, то применимы формулы сферической тригонометрии для реше- ния полярного сферического треугольника. При этом, как в прямой, так и в обрат- ной задачах необходимо в треугольнике по трем известным элементам вычислить три неизвестные. Здесь задача решается однозначно и точность ее решения зависит только от формата вычислений. Замкнутых формул сфероидической тригонометрии не существует, поэтому решение главной геодезической задачи на поверхности земного эллипсоида произ- водится приближенными методами, в основе которых лежат различные пути при- ближенного интегрирования системы дифференциальных уравнений для геодези- ческой линии эллипсоида вращения 4.
Так при решении прямой задачи это рас- стояние ограничивается дальностью действия геодезических приборов теодоли- тов, дальномеров, спутниковых и других навигационных систем. При решении обратной задачи при полигональном уравнивании геодезических построений — длинами первоклассных звеньев, в навигации — расположением начальных и ко- нечных пунктов дистанции.
Немецкий астроном и геодезист Ф. С развитием науки и техники точность и дальность действия геодезических приборов возрастает, совершенствуются измерительные технологии, методы их математической обработки и представления на основе автоматизации с широким применением ЭВМ.
В связи с этим в настоящее время главная геодезическая зада- ча должна с необходимой точностью решаться на любые расстояния, для чего раз- работаны соответствующие алгоритмы ее решения на ЭВМ. Вместе с тем полезно проследить, как в историческом аспекте формирова- лись знания в этой области. Следует отметить, что при вычислениях вручную с ис- пользованием малой вычислительной техники арифмометров, калькуляторов и специальных таблиц, весьма важным фактором являлся объем вычислений.
При этом наиболее часто возникала практическая потребность в решении прямой и об- ратной задач на малые расстояния, реже на средние и исключительно редко на большие расстояния. Это определялось уровнем развития измерительных тех- нологий и потребностями в геодезическом обеспечении навигационных средств.
В связи с этим различают два пути решения главной геодезической за- дачи: прямой и косвенный. В прямом пути предполагается вычисление значений искомых величин по известным. В косвенном пути вычисляются разности между известными и искомыми величинами, которые затем вводятся в соответствующие значения известных величин для вычисления искомых.
Наибольший эффект по со- кращению объема вычислений вручную достигается применением косвенного пути решения задачи на малые расстояния, когда разности координат исходного и опре- деляемого пунктов — величины малые и число значащих цифр при их вычислениях вручную существенно меньше.
В этом контексте мы рассмотрим наиболее известные два ме- тода решения главной геодезической задачи. О точности вычислений в решении главной геодезической задачи Как уже отмечалось ранее, точность любых геодезических вычислений должна быть на порядок выше точности измерений. Покажем, с какой точностью необходимо вы- числять геодезические широты и долготы, чтобы они соответствовали точности азимутов и расстояний.
Для этого в первых двух уравнениях системы 4. M s N cos B s Примем условие, чтобы азимут в равной мере влиял на точность вычислений. Длины сторон триангуляции 1 класса не менее 20 км. При этом требования к точности долготы снижаются по мере удаления от экватора.
Подобные расчеты можно произвести и иным образом. Ошибка во взаимном положении двух смежных пунктов, связанных геодезически- ми измерениями, определяется поперечным сдвигом, обусловленным ошибкой пе- редачи азимутов, и продольным сдвигом, обусловленным ошибками линейных из- мерений.
Естественно, при построении геодезических сетей любыми методами должно выдерживаться условие равнозначного влияния ошибок угловых и линей- ных величин на точность. Таким образом получаем, что геодезические широты и долготы на пунктах 1 класса вычисляются с округлением до 0. В каталогах после уравнивания геодезической сети значения широт и долгот помещаются с округлением до 0.
Разложение разностей широт, долгот и азимутов в ряды с начальными аргументами Из уравнений 6. В уравнениях 6. Здесь применяем правила диффе- ренцирования сложных функций, неявно зависящих от переменной s.
Заме- тим из 6. При этом будут уменьшаться и численные значения членов раз- ложений 6. Таким образом видим, что достаточно удерживать три члена разложе- ния, при этом точность вычислений, оцененная с помощью остаточного члена разложений в форме Лагранжа меньше требуемой точности вычислений широт, долгот и азимутов.
Здесь говорят, что для решения задачи на малые расстояния достаточно удерживать малые величины третьего порядка. Третьи производные в 6. В формулах значения производных коэффи- циентов разложений вычисляются по координатам начальной точки, отсюда название формул. Разложение разностей широт, долгот и азимутов в ряды со средними аргументами Как отмечено, формулы для решения главной геодезической задачи, осно- ванные на рядах с начальными аргументами, имеют ограниченные возможности.
Рассмотрим один из возможных путей их усовершенствования, основанный на применении рядов со средними аргументами. При этом мы также будем удержи- вать в формулах для вычислений малые величины третьего порядка.
Пусть мы имеем некоторую геодезическую линию s 12 рис. Проверим, так ли это, для чего возьмем полусуммы уравнений 6. При этом на данной геодези- ческой линии существуют четыре различные точки со средними координатами. Это обстоятельство следует учитывать при дальнейшем выводе рабочих формул. В формулах 6. Мы можем вычислить средние широту и азимут, если известны их значения в двух точках. Поэтому перейдем в коэффи- циентах указанных формул к средним широтам и азимутам средним аргументам.
При этом будем иметь в виду порядок малых величин 6. Порядок решения прямой геодезической задачи по формулам со средними аргументами При решении прямой геодезической задачи известны следующие величи- ны: B1, L1, S12 , A12 , требуется найти: B2, L2, A Особенностями применения формул 6.
Для расстояний до 30 км второе приближение дает искомые разности с до- статочной точностью, для контроля выполняют третье приближение. Получив зна- чения разностей, искомые величины находят по формулам 6.
Порядок решения обратной геодезической задачи Здесь известными величинами являются: B1, B2 , L1, L2 , требуется опре- делить: s12 , A12 , A Далее замечаем, чт в 6. Способ Бесселя для решения главной геодезической задачи Рассмотренный способ решения главной геодезической задачи пригоден для малых расстояний, мы привели формулы, обеспечивающие необходимую точ- ность при расстояниях до 30 км.
Немецкий геодезист и астроном Ф. Бессель обратил внимание на то, что теорема Клеро для геодезической линии земного эллипсоида является аналогом теоремы синусов сферической тригонометрии для полярного сферического тре- угольника. Если в системе дифференциальных уравнений для геодезической линии земного эллипсоида 4.
Бессель рассмотрел полярные треугольники на сфере и эллипсоиде при условии, чтобы аргументы теоремы Клеро азимуты и широты были бы равны. Тогда, разделив соответствующие уравнения 6. Это позволяет применить формулы сферической тригонометрии для установления связи между величинами, входящими под знаки интегралов 6. На рис. При вычислении определенных интегралов 6.
Можно заметить то, что здесь степени разложе- ния характеризуют малые величины определенного порядка, как и в способе со средними аргументами, но преимущество данных формул в том, что величины членов разложения 6. С учетом изложенного запишем интегральные выражения 6. Производя почленное интегрирование 6. При вычислениях на ЭВМ можно заметить, что их объем здесь несущественно отличается от вычислений по формулам со средними аргументами.
Поэтому в современных условиях лучше применять способ Бесселя для решения задачи на любые расстояния. О современных требованиях к решению главной геодезической задачи Как уже отмечалось ранее, современные стандарты геодезических измере- ний, основанные прежде всего на спутниковых системах позиционирования ГЛО- НАСС РФ и GPS-NAVSTAR США могут обеспечивать точность определения абсолютных координат точек земной поверхности и околоземного пространства практически на порядок выше, чем классические астрономические определения.
Так, если положение астрономических пунктов Лапласа, на которые опираются первоклассные звенья триангуляции 1 класса, характеризуются ошибками 10 и бо- лее метров, то современные системы позволяют обеспечивать точность до 1 м. Су- щественную роль в повышении качества всех видов геодезических измерений иг- рают компьютерные технологии автоматизации измерений и их математической обработки.
По материалам уравнивания астрономо — геодезической сети 1 — 2 клас- сов на всей территории бывшего Советского Союза получены ошибки взаимного положения смежных пунктов порядка 5 — 7 см, а спутниковыми системами обеспе- чивается взаимное положение пунктов на расстояниях до 20 км с ошибками поряд- ка 7 — 10 мм. Следует отметить при этом, что спутниковые системы находятся в стадии совершенствования и позволяют определять с высокой точностью взаимное положение пунктов на большие расстояния.
К настоящему времени разработаны различные методы решения главной геодезической задачи на любые расстояния, основанные как на совершенствовании способа Бесселя, так и альтернативные ему. Естественно, в современных условиях задача должна решаться достаточно надежно и с достаточной точностью на любые расстояния от 20 до 20 км , удовлетворяющей высокой точности измерений.
Рассмотрим порядок решения прямой и обратной задач на любые расстояния на примере способа Бесселя. Для этого используем приведенные нами формулы и обозначения, принятые на рисунке 6. Прямая геодезическая задача: 7. Обратная геодезическая задача: 1. Совместное применение формул, следуемых из 6.
Вычисление расстояния s по формуле 6.
Вооб- ще говоря, на поверхности эллипсоида, как и на любой замкнутой поверхности, между двумя точками можно провести не одну, а две геодезические линии. При решении геодезических задач под расстоянием понимают длину кратчайшей из этих кривых.
Применение плоских координат в геодезии Мы рассмотрели решение геодезических задач на поверхности земного эл- липсоида при различных расстояниях между точками. Отметим, что в большинстве случаев геодезической практики измерения производятся между точками, удален- ными друг от друга на незначительные расстояния.
Более того, геодезические по- строения, создаваемые в качестве обоснования для крупномасштабных топографи- ческих съемок инженерных объектов, населенных пунктов и др.
В этих случаях более удоб- ной и простой является система координат на плоскости. В системе плоских координат решение всех задач производится значительно проще — по формулам плоской тригонометрии. Со времен Гаусса в геодезии у нас в стране и в ряде других стран принята левая система координат рис.
Поэтому при решении многих задач в геодезии применяют си- стему плоских координат, а поверхность эллипсоида заменяют плоскостью. Поверхность эллипсоида неизометрична плоскости, т.
Поэтому в геодезии, как и в картогра- фии применяют различные законы взаимного отображения проекции поверхно- сти эллипсоида на плоскости. У нас в стране, других странах Европы и бывшего Советского Союза до по- следнего времени наиболее широкое применение для создания топографических карт и для обработки геодезических измерений нашла проекция Гаусса — Крюге- ра. Вообще говоря, во всех странах, как правило, для этих целей применяется одна и та же проекция одна система плоских координат , что обеспечивает удобства совместного применения топографических карт, каталогов координат геодезиче- ских пунктов и результатов геодезических измерений при инженерно — геодезиче- ском обеспечении проектирования, строительства и эксплуатации самых различ- ных объектов.
Заметим, что К. Гаусс в году применил конформную проекцию для ма- тематической обработки результатов градусных измерений, выполненных вдоль Ганноверского меридиана. Удобство этой проекции заключалось в том, что иска- жения всех измеренных величин в ряде триангуляции, вытянутом вдоль меридиа- на, при отображении на плоскость были пренебрегаемо малы.
Вычислив плоские координаты исходных пунктов по геодезическим, уравнивание ряда и все вычисле- ния в нем производили на плоскости. Основные формулы для вычислений и ре- зультаты геодезических работ Гаусса впервые были опубликованы известным немецким геодезистом О. Шрейбером в году.
В году в Германии и Ав- стрии проекция Гаусса с трехградусными координатными зонами рекомендована для кадастровых работ. И лишь в году немецкий геодезист Л. Крюгер пред- ложил проекцию Гаусса с шестиградусными зонами для создания топографических карт и математической обработки геодезических измерений, для чего были состав- лены специальные таблицы, существенно облегчающие вычисления.
В результате проекция стала находить все большее применение в различных странах как проек- ция Гаусса — Крюгера. В СССР проекция Гаусса — Крюгера впервые применялась с года для обработки Донбасской триангуляции известным советским геодези- стом и маркшейдером Н. Повсеместное применение в СССР проекция Гаусса — Крюгера нашла после введения системы геодезических координат года на поверхности референц — эллипсоида Красовского до этого применялся эллипсоид Бесселя.
В разработку таблиц наибольший вклад внесли известные советские ученые — геодезисты Ф. Красовский, А. Изотов, А. Вировец, Д. Ларин, Б. Общие сведения из теории конформного отображения поверхностей Под взаимным отображением поверхностей понимают взаимно однознач- ное соответствие их точек, когда одной точке поверхности соответствует одна и только одна точка другой поверхности.
На поверхности эллипсоида, как известно, положение точек определяется геодезическими широтами B и долготами L. На плоскости — декартовыми прямо- угольными координатами x, y. На рисунке 7. Поскольку в конформных проекциях масштаб не за- 0 y висит от направления, то для его вычис- ления можно взять отношение любых Рис. Это будет иметь место при движении точки по меридиану или параллели, следовательно, можем записать, согласно рис.
Таким образом получены уравнения, в общем виде определяющие конформ- ные проекции эллипсоида на плоскости. Задавая конкретный вид функций 7. Аналогичным образом получают основные формулы для обратного отобра- жения, взяв за основу уравнения 7.
Связь полярных координат на поверхности эллипсоида и плоскости Уравнения 7. Для геодезических проекций необходимо также иметь формулы, связывающие сфероидические и плоские полярные координаты.
Q 1 k — касательная к кри- Q2 вой S в точке Q 1. Несложно заметить уравнение свя- зи дирекционного угла и азимута 0 y Рис. Конкретный вид проекции, вообще говоря, определяется функциями 7. Характеристические уравнения геодезических проекций В теории отображения поверхностей указывается на то, что все многообра- зие конформных отображений следует из аналитической функции комплексных переменных, связывающей изометрические координаты на обеих поверхностях.
Под изометрическими координатами на любой поверхности понимают такие, когда равным приращениям координат соответствуют равные линейные приращения вдоль координатных линий. Заметим, что в математике такая система координат называется изотермической, а в картографии и геодезии принято название изомет- рическая.
Таким образом, необходимо установить изометрические координаты на поверхности эллипсоида. Линейный элемент поверхности эллипсоида в функции геодезических координат имеет ранее полученное выражение 4. Система плоских прямоугольных координат изометрическая. Оно выражает длину изображе- ния осевого меридиана на плоскости от точки с координатами x 0 , y 0 начальной точки до текущей точки изображаемой области.
При этом заметим, что эта длина выражается в виде разложения по степеням разности изометрической широты те- кущей и начальной точек, а также коэффициентов разложения, являющимися функциями широты начальной точки. Поэтому формулы 4. Уравнения 7. Общее алгоритмическое описание геодезических проекций Здесь мы получим общие формулы для вычислений основных характеристик геодезических проекций.
Произведя возведение в степени выражений, стоящих в правых частях 7. Это гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Вычислим производные, входящие в уравнения Коши — Римана 7. Если требуется решить обратную задачу, ко- гда по элементам на плоскости проекции требуется вычислить соответствующие сфероидические элементы, берем за основу вторые уравнения из 7.
Это также гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Вид проекции определяется только ко- эффициентами характеристических уравнений 7. Аналогичным образом можно получить общие алгоритмические выражения для уравнений связи полярных и параметрических координат. Характеристические уравнения некоторых геодезических проекций 7. Здесь можем записать для уравнения из 7. И первое уравнение из 7. Вообще говоря, варьируя значением m 0 , можно управлять распределением искажений длин в пределах изображаемой области.
О том, как это делается, мы остановимся позднее. Поперечно-цилиндрические проекции наиболее удобны для изображения на плоскости областей эллипсоида, вытянутых вдоль меридиана. Конические проекции Известная конформная коническая проекция Ламберта, которая широко применяется в мировой геодезической практике для создания топографических x карт и для математической обработки геодезических измерений, задается P уравнениями связи координат, следуе- мыми из рисунка 7.
Тогда для длины изображения любого меридиана эллипсоида на плоскости конической проекции получаем из 7. V0 Это обстоятельство указывает на достоинство конических проекций, состо- ящее в том, что здесь можно в автоматическом режиме формировать любое число членов разложений в 7.
Конические проекции наиболее удобно применять для отображения на плоскости областей, вытянутых вдоль параллели. Азимутальные проекции Французский инженер Руссиль в году предложил для геодезических и топографических работ проекцию на касательную плоскость, являющуюся част- ным случаем азимутальных проекций, характеристическое уравнение которой можно получить следующим образом см.
Из рисунка получаем связь меж- B2 ду длиной дуги окружности и ее каса- O B0 тельной. Длина дуги окружности, заклю- nQ ченной между симметрично располо- женными, относительно центральной, Рис. Азимутальные проекции удобно применять для областей округлой формы.
Выбор значения масштаба в геодезических проекциях Как уже отмечалось ранее, три вида геодезических проекций, рассмотрен- ных нами, являются наиболее распространенными в мировой геодезической прак- тике, при этом все они являются перспективными и симметричными относительно распределения всех видов искажений внутри изображаемой зоны. При этом во всех этих проекциях линейные искажения, обусловленные масштабом, существенно бо- лее значимы по сравнению с искажениями, обусловленными кривизной изображе- ния геодезической линии.
В поперечно-цилиндрических проекциях масштаб в точ- ке возрастает примерно пропорционально квадрату ее ординаты удаления от осе- вого меридиана , в конических — примерно пропорционально квадрату абсциссы удаления от стандартной параллели , в азимутальных — примерно пропорцио- нально квадрату удаления от центральной точки проекции. Линии постоянного масштаба или равных линейных искажений назвывают изоколами.
При этом в ци- линдрических проекциях изоколы симметрично расположенны относительно изоб- ражения осевого меридиана, в конических — симметрично относительно изображе- ния стандартной параллели, в азимутальных — окружности, описанные вокруг цен- тральной точки проекции.
